Sistem Bilangan

Sistem bilangan numerik adalah sebuah simbol atau kumpulan dari simbol yang merepresentasikan sebuah bilangan. Numerik berbeda dengan angka. Simbol "11", "sebelas" and "XI" adalah numerik yang berbeda, tetapi merepresentasikan angka yang sama yaitu sebelas.

Artikel ini akan menjelaskan beberapa sistem numerik. Secara garis besar terdapat dua sistem numerik, yaitu sistem numerik berdasarkan penjumlahan dan sistem numerik berdasarkan posisi.

Sistem Numerik Berdasarkan Penjumlahan

Sistem numerik yang paling sederhana adalah Sistem numerik unary. Sistem ini sering dipakai untuk melakukan pemilihan pada suatu voting. Contoh dari Sistem numerik Unary adalah Tally mark. Kerugian penggunaan dari sistem numerik Unary adalah sistem ini membutuhkan tempat yang besar.

Selain sistem numerik unary, contoh lain dari sistem numerik berdasarkan penambahan adalah angka Romawi.

I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

Angka Romawi dituliskan dengan simbol dari angka yang tersedia kemudian ditambahkan atau dikurangkan.

Sebagai contoh adalah 1970 disimbolkan dalam angka romawi dengan MCMLXX. Simbol M merepresentasikan angka 1000. Simbol CM merepresentasikan 900, hal ini dikarenakan oleh peraturan dalam penulisan angka romawi, yang tidak diperkenakan pengulangan suatu simbol lebih dari tiga kali. Jadi apabila 900 dituliskan dengan simbol DCCCC maka penulisan tersebut salah. Simbol C disebelah kiri atau sebelum M merupakan angka pengurang dari angka sesudahnya, jadi CM = 1000-100 = 900. Simbol selanjutnya adalah LXX yang melambangkan angka 70.

Angka Romawi ini digunakan di Eropa sampai dengan abad ke 15. Kekurangan dari sistem ini adalah tidak adanya angka Nol.

Sistem numerik Berdasarkan posisi

Di dalam sistem numerik ini, penulisan angka berdasarkan posisi dan basis. Posisi suatu angka dalam sistem ini menentukan nilai dari bilangan yang diwakilinya. Maka notasi yang digunakan disebut notasi posisional. Sistem numerik berdasarkan posisi yang sangat terkenal dan dipakai paling luas adalah sistem bilangan desimal. Sistem desimal ini merupakan sistem numerik berdasarkan posisi yang berbasis 10. Simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adalah bagian dari sistem desimal. Sebagai contoh 612, angka ini berarti:

2 × 100 = 2 × 1 = 2

1 × 101 = 1 × 10 = 10

6 × 102 = 6 × 100 = 600

Basis eksponen

Selain sistem desimal yang digunakan sehari-hari, terdapat pula sistem lainnya, yaitu:

Sistem biner, berbasis 2,

Sistem oktal, berbasis 8,

Sistem heksadesimal, berbasis 16,

Sistem seksagesimal, berbasis 60,

dan sistem numerik berbasis lainnya.

Seluruh sistem di atas menggunakan eksponen. Berarti setiap angka pada posisi tertentu, nilainya adalah sebesar angka tersebut dikalikan basisnya dipangkatkanposisinya.

Faktoradik

Faktoradik menggunakan pengali yang berbeda untuk setiap posisi bilangannya. Pengalinya adalah sesuai dengan faktorial posisinya.

2.1.   Sistem Bilangan Biner

Sistem bilangan biner adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan hanya menggunakan dua simbol angka yaitu ‘0’ dan ‘1’, bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 2 .Sistem bilangan biner digunakan untuk mempresentasikan alat yang mempunyai dua keadaan operasi yang dapat dioperasikan dalam dua keadaan ekstrim. Contoh switch dalam keadaan terbuka atau tertutup, lampu pijar dalam keadaan terang atau gelap, dioda dalam keadaan menghantar atau tidak menghantar, transistor dalam keadaan cut off atau saturasi, fotosel dalam keadaan terang atau gelap, thermostat dalam keadaan terbuka atau tertutup, Pita magnetik dalam keadaan magnet atau demagnet.

2.2.   Sistem Bilangan Desimal.

Sistem bilangan desimal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan menggunakan sepuluh simbol angka yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,’7’,’8’ dan ‘9’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 10. Sistem bilangan desimal kurang cocok digunakan untuk sistem digital karena sangat sulit merancang pesawat elektronik yang dapat bekerja dengan 10 level (tiap-tiap level menyatakan karakter desimal mulai 0 sampai 9)

Sistem  bilangan desimal adalah positional-value system,dimana nilai dari suatu digit  tergantung  dari  posisinya.  Nilai  yang  terdapat  pada  kolom ketiga pada Tabel 2.1., yaitu A, disebut satuan, kolom kedua yaitu B disebut puluhan, C disebut ratusan, dan seterusnya. Kolom A, B, C menunjukkan kenaikan pada eksponen dengan basis 10 yaitu 10⁰ = 1, 10¹ = 10, 10² = 100. Dengan cara yang sama, setiap kolom pada sistem  bilangan biner yang berbasis 2,  menunjukkan  eksponen  dengan basis 2, yaitu 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2²= 4, dan seterusnya.

Tabel 2.1. Nilai Bilangan Desimal dan Biner

Kolom desimal			Kolom biner
C 102 = 100 (ratusan)	B 101 = 10 (puluhan)	A 100 = 1 (satuan)	C 22 = 4 (empatan)	B 21 = 2 (duaan)	A 20 = 1 (satuan)

 Setiap digit biner disebut bit; bit paling kanan disebut least significant bit (LSB), dan bit paling kiri disebut most significant bit (MSB).

Untuk membedakan bilangan pada sistem yang berbeda digunakan subskrip. Sebagai contoh 9₁₀menyatakan bilangan sembilan pada sistem bilangan desimal, dan 01101₂ menunjukkan 01101 pada sistembilangan biner. Subskrip tersebut sering diabaikan jika sistem bilangan yang dipakai sudah jelas.

2.3.   Sistem Bilangan Oktal.

Sistem bilangan oktal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan menggunakan delapan simbol  angka yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,dan ’7’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 8. Sistem bilangan oktal digunakan sebagai  alternatif untuk menyederhanakan sistem pengkodean biner. Karena 8 = 2³, maka satu (1) digit oktal dapat mewakili tiga (3) digit biner.

2.4.   Sistem Bilangan Heksadesimal.

Sistem bilangan heksadesimal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan menggunakan 16 simbol yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,’7’,’8’,’9’,

’A’,’B’, ’C’,’D’,’E’, dan ‘F’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 16. Identik dengan sistem bilangan oktal, sistem bilangan heksadesimal juga digunakan untuk   alternatif penyederhanaan sistem pengkodean biner. Karena 16 = 2⁴, maka satu (1) digit heksadesimal dapat mewakili empat (4) digit biner.

2.5.   Konversi Bilangan

            2.5.1.      Konversi bilangan desimal ke biner.

          Cara untuk mengubah bilangan desimal ke biner adalah dengan membagi bilangan desimal yang akan diubah, secara berturut-turut dengan pembagi 2, dengan memperhatikan sisa pembagiannya. Sisa pembagian akan bernilai 0 atau 1, yang akan membentuk bilangan biner dengan sisa yang terakhir menunjukkan MSBnya. Sebagai contoh, untuk mengubah 52₁₀ menjadi bilangan biner, diperlukan langkah-langkah berikut :

52/2   =   26 sisa 0, LSB

26/2   =   13 sisa 0

13/2   =     6 sisa 1

6/2     =    3 sisa 0

3/2     =    1 sisa 1

½       =    0 sisa 1, MSB

Sehingga bilangan desimal 52₁₀ dapat diubah menjadi bilangan biner 110100₂.

Cara di atas juga bisa digunakan untuk mengubah sistem bilangan yang lain, yaitu oktal atau heksadesimal.

 Tabel 2.2. Daftar Bilangan Desimal dan Bilangan Biner Ekivalensinya

Desimal	Biner
	C (MSB) (4)	B (2)	A (LSB) (1)
0 1 2 3 4 5 6 7	0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1

            2.5.2.      Konversi bilangan desimal ke oktal.

Teknik pembagian yang berurutan dapat digunakan untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi dengan 8 dan sisa pembagiannya harus selalu dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 5819₁₀ ke oktal, langkah-langkahnya adalah :

5819/8  =   727,       sisa 3, LSB

727/8    =   90,         sisa 7

90/8       =   11,         sisa 2

11/8       =   1,           sisa 3

1/8         =   0,           sisa 1, MSB

Sehingga 5819₁₀ = 13273₈

            2.5.3.      Konversi bilangan desimal ke heksadesimal.

Teknik pembagian yang berurutan dapat juga digunakan untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan heksadesimal. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi dengan 16 dan sisa pembagiannya harus selalu dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 3408₁₀ menjadi bilangan heksadesimal, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

3409/16     =  213,              sisa   1₁₀            =          1₁₆, LSB

213/16       =  13,                sisa   5₁₀            =          5₁₆

13/16        =     0,                sisa 13₁₀            =          D₁₆, MSB

Sehingga, 3409₁₀ = D51₁₆.

            2.5.4.      Konversi bilangan biner ke desimal.

Seperti yang terlihat pada tabel 2.1. sistem bilangan biner adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit (bit) biner mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik biner seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.3.

 Tabel 2.3. Daftar Bobot tiap bit Bilangan Biner dan Ekivalensinya dalam desimal

24

23

22

21

20

2-1

2-2

2-3

Bobot tiap-tiap bit biner

                                      Titik biner

16

8

4

2

1

0.5

0.25

0.125

Ekivalensinya dalam desimal

                            Titik desimal

Oleh karena itu bilangan biner dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara menjumlahkan bobot dari masing-masing posisinya yang bernilai 1.

Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan biner 110011₂ menjadi bilangan desimal dapat dilakukan sebagai berikut:

1        1      0     0     1       1                             Biner

2⁵   +  2⁴  +                2¹  +  2⁰

32 +  16 +                2   + 1 = 51                      Desimal

Sehingga bilangan biner 110011₂ berubah menjadi bilangan desimal 51_10.

Tabel 2.4. adalah contoh perubahan beberapa bilangan biner menjadi bilangan desimal.

Tabel 2.4. Contoh Pengubahan Bilangan Biner menjadi Desimal

Biner	Kolom biner						Desimal
	32	16	8	4	2	1
1110 1011 11001 10111 110011	- - - - 1	- - 1 1 1	1 1 1 0 0	1 0 0 1 0	1 1 0 1 1	0 1 1 1 1	8 +  4 +  2 + 0 =14            8 +  0 +  2 + 1 =11      16+ 8 +  0 +  0 + 1 =25      16+ 0 +  4 +  2 + 1 =23 32+16+ 0 +  0 +  2 + 1 = 51

 Cara lain untuk mengkonversikan bilangan biner menjadi bilangan desimal dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan angka 2 dengan pangkat koefisien biner yang berharga 1. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 10111₂ menjadi bilangan desimal, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

10111₂ = 1x 2⁴ + 0x 2³ + 1x 2² + 1x 2¹ + 1x 2⁰ = 23₁₀

 2.5.5.      Konversi bilangan biner ke oktal.

Konversi dari bilangan biner ke bilangan oktal dilakukan dengan mengelompokkan setiap tiga digit biner dimulai dari digit paling kanan(LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan oktal.

Sebagai contoh, bilangan 11110011001₂ dapat  dikelompokkan menjadi: 11   110   011   001, sehingga:

11₂    =   3₈, MSB

110₂      =        6₈

011₂ =   3₈

001₂ =   1_8­, LSB

             Jadi, bilangan biner 11110011001₂ apabila diubah menjadi bilangan oktal = 3631₈.

  

            2.5.6.      Konversi bilangan biner ke heksadesimal.

Bilangan biner dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara mengelompokkan setiap empat digit dari bilangan biner tersebut dimulai dari digit paling kanan (LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan heksadesimal.

 Sebagai contoh, 0100111101011110₂ dapat dikelompokkan menjadi: 0100    1111    0101    1110. Sehingga:

0100₂  =  4₁₆, MSB

1111₂  =  F₁₆

0101₂  =  5₁₆

1110₂  =  E₁₆, LSB

Dengan demikian, bilangan 0100111101011110₂ = 4F5E_16.

2.5.7.      Konversi bilangan oktal ke desimal. 

Sistem bilangan oktal adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit oktal mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik oktal seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.5.

Tabel 2.5. Daftar Bobot tiap digit bilangan oktal dan ekivalensinya dalam desimal

84

83

82

81

80

8-1

8-2

Bobot tiap-tiap digit oktal

                                          Titik oktal

4096

512

64

8

1

0.125

0.015625

Ekivalensinya dalam desimal

                                Titik desimal

Oleh karena itu bilangan oktal dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara menjumlahkan bobot kali nilai-nilai dari masing-masing posisinya.

 Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan oktal 372₈ menjadi bilangan desimal dapat dilakukan sebagai berikut:

 3            7          2                                                Oktal

3x8²  +   7x8¹  +  2x8⁰

192   +  56     +   2       = 250                              Desimal

Sehingga bilangan oktal 372₈ berubah menjadi bilangan desimal 250_10.

        

            2.5.8.      Konversi bilangan oktal ke biner.

Konversi dari bilangan oktal ke bilangan biner dilakukan dengan cara mengubah setiap digit pada bilangan oktal secara terpisah menjadi ekivalen biner  3 digit, seperti yang terlihat pada Tabel 2.6.

Tabel 2.6. Ekivalen  setiap digit  bilangan oktal menjadi 3 bit  bilangan biner

Digit oktal	0	1	2	3	4	5	6	7
Ekivalen biner 3 bit	000	001	010	011	100	101	110	111

Sebagai contoh, bilangan oktal 3527₈ dapat diubah menjadi bilangan biner dengan cara sebagai berikut:

3₈ = 011₂, MSB

5₈ = 101₂

2₈ = 010₂

7₈ = 111₂, LSB

Sehingga bilangan oktal 3527₈ sama dengan bilangan biner 011 101 010 111₂.

          

            2.5.9.      Konversi bilangan oktal ke heksadesimal.

Konversi dari bilangan oktal ke bilangan heksadesimal  dapat  dilakukan dengan cara mengubah bilangan oktal ke bilangan biner atau ke bilangan desimal terlebih dahulu. Sebagai contoh, bilangan oktal327₈ dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal  dengan cara diubah dulu ke bilangan desimal, sebagai berikut:

Oktal                        3                  2                7

Desimal                 3x8²      +     2x8¹         +   7x8⁰ = 215

Selanjutnya hasil bilangan desimal diubah ke bilangan heksadesimal, 

215/16      =  13, sisa   7₁₀ =   7₁₆, LSB

13/16        =    0, sisa 13₁₀ =   D₁₆, MSB

Sehingga, 327₈  =  215 ₁₀ = D7₁₆.

Cara lain diubah dulu ke bilangan biner, sebagai berikut:

          Oktal                        3                  2                7

Biner                      011              010           111

  

Selanjutnya hasil bilangan biner dikelompokkan setiap empat bit dimulai dari digit paling kanan(LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan heksadesimal.

Biner                         0               1101          0111

           Heksadesimal          0                  D                7

Sehingga, 327₈  =  11010111₂ = D7₁₆.

         2.5.10.  Konversi bilangan heksadesimal ke desimal.

Sistem bilangan heksadesimal adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit heksadesimal mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik heksadesimal seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.7.

 Tabel 2.7. Daftar Bobot tiap digit bilangan heksadesimal dan ekivalensinya dalam desimal

162

161

160

16-1

16-2

Bobot tiap-tiap digit heksadesimal

                           Titik heksadesimal

256

16

1

0.0625

0.00390625

Ekivalensinya dalam desimal

                Titik desimal

Oleh karena itu bilangan heksadesimal dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara menjumlahkan bobot kali nilai-nilai dari masing-masing posisinya.

Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 152B₁₆ dapat diubah menjadi bilangan desimal  dengan carasebagai berikut:

152B₁₆  =   (1 x 16³) + (5 x 16²) + (2 x 16¹) + (11 x 16⁰)

              =   1 x 4096 + 5 x 256   + 2 x 16    + 11 x 1

              =   4096       + 1280       + 32          + 11

              =   5419₁₀

Sehingga, 152B₁₆  =  5419₁₀

            2.5.11.  Konversi bilangan heksadesimal ke biner.

Konversi dari bilangan heksadesimal ke bilangan biner dapat dilakukan dengan cara mengubah setiap digit pada bilangan heksadesimal secara terpisah menjadi ekivalen biner  4 bit, seperti yang terlihatpada Tabel 2.8.

Tabel 2.8. Ekivalen  setiap digit  dari bilangan heksadesimal  menjadi 4 bit  bilangan biner

Digit Heksadesimal	Ekivalen biner 4 bit
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 2A5C₁₆ dapat diubah ke bilangan biner sebagai berikut.

2₁₆  =   0010, MSB

A₁₆  =   1010

5₁₆  =   0101

C₁₆ =   1100, LSB

Sehingga,   bilangan  heksadesimal  2A5C₁₆  dapat  diubah  menjaid  bilngan  biner 0010 1010 0101 1100₂.

            2.5.12.  Konversi bilangan heksadesimal ke oktal.

Konversi dari bilangan heksadesimal ke bilangan oktal dapat  dilakukan dengan cara mengubah bilangan heksadesimal ke bilangan biner atau ke bilangan desimal terlebih dahulu.

 Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 9F2₁₆ dapat diubah menjadi bilangan oktal  dengan cara diubah dulu ke bilangan desimal, sebagai berikut:

Heksadesimal         9                  F                2

Desimal                 9x16²      + 15x16¹       +  2x16⁰ =

                               2304      +   240        +     2     = 2546₁₀

 Selanjutnya hasil bilangan desimal diubah ke bilangan oktal,

2546/8      =  318,               sisa   2₁₀            =         2₈, LSB

  318/8      =    39,               sisa   6₁₀            =         6₈,

    39/8       =      4,               sisa   7₁₀             =         7₈,

      4/8       =      0,               sisa   4₁₀             =         4₈, MSB

Sehingga, 9F2₁₆ =  2546 ₁₀ = 4762₈.

Cara lain diubah dulu ke bilangan biner, sebagai berikut:

          Heksadesimal           9                  F                2

Biner                      1001           1111          0010          

  

Selanjutnya hasil bilangan biner dikelompokkan setiap tiga bit dimulai dari digit paling kanan (LSB).Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan heksadesimal.

Biner                         100        111        110      010              

          Heksadesimal             4            7            6          2                

Sehingga, 9F2₁₆  =  100111110010₂ = 4762₈.

2.6.      Bilangan Biner Pecahan

         Dalam sistem bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin besar, dan digit-digit yang berada di sebelah kanan titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil.

Sehingga,

0.1₁₀   =  10^-1          =  1/10

0.10₁₀  =  10^-2‑                =  1/100

0.2     =  2 x 0.1      =  2 x 10^-1, dan seterusnya.

Cara yang sama juga bisa digunakan untuk menyajikan bilangan biner pecahan. Sehingga,

0.1₂    =  2^-1            =  ½, dan

0.01₂   =  2^-2‑                  =  ½²  = ¼

Sebagai contoh,

0.111₂     =  1/2 + 1/4 + 1/8

             =  0.5 + 0.25 + 0.125

             =  0.875₁₀

101.101₂ =  4 + 0 + 1+ ½ + 0 + 1/8

             =  5 + 0.625

             =  5.625₁₀

Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner dapat dilakukan dengan cara mengalikan bagian pecahan dari bilangan desimal tersebut dengan 2, bagian bulat dari hasil perkalian merupakan pecahan dalam bit biner. Proses perkalian diteruskan pada sisa sebelumnya sampai hasil perkalian sama dengan 1 atau sampai ketelitian yang diinginkan. Bit biner pertama yang diperoleh merupakan MSB dari bilangan biner pecahan. Sebagai contoh, untuk mengubah 0.625₁₀ menjadi bilangan biner dapat dilaksanakan dengan

0.625 x 2  =  1.25,  bagian bulat   =       1 (MSB), sisa = 0.25

0.25 x 2    =  0.5,    bagian bulat   =       0, sisa = 0.5

0.5 x 2      =  1.0,    bagian bulat   =       1 (LSB), tanpa sisa

Sehingga, 

0.625₁₀      =  0.101₂

{\displaystyle a_{n},a_{n-1},...,a_{2},a_{1},a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\times i!}